График функции y = (Abs((3*x)^2+2*x-5))/(x-1)*x/(x^2-1)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
       |     2          |  
       |(3*x)  + 2*x - 5|  
       ------------------*x
             x - 1         
f(x) = --------------------
               2           
              x  - 1       
$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{x^{2} - 1} \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{9} + \frac{\sqrt{46}}{9}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{46}}{9} - \frac{1}{9}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.864703331458$$
$$x_{3} = 0.642481109236$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((Abs((3*x)^2 + 2*x - 5)/(x - 1))*x)/(x^2 - 1).
$$\frac{0}{-1 + 0^{2}} \frac{1}{-1} \left|{-5 + \left(0 \cdot 3\right)^{2} + 0 \cdot 2}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x^{2} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} \left(x \left(\frac{1}{x - 1} \left(2 + \frac{18 x^{2}}{x}\right) \operatorname{sign}{\left (9 x^{2} + 2 x - 5 \right )} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|\right) + \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1.60801684364$$
$$x_{2} = 0.475376779602$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1.60801684364, 5.8539277566186)

(0.475376779602, 2.35939674402144)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1.60801684364$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0.475376779602$$
Убывает на промежутках
[-1.60801684364, 0.475376779602]

Возрастает на промежутках
(-oo, -1.60801684364] U [0.475376779602, oo)
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|\right) = 9$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 9$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|\right) = 9$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 9$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((Abs((3*x)^2 + 2*x - 5)/(x - 1))*x)/(x^2 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right|}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right| = - \frac{x \left|{- 9 x^{2} + 2 x + 5}\right|}{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} - 1} \frac{1}{x - 1} \left|{2 x + \left(3 x\right)^{2} - 5}\right| = - \frac{-1 x \left|{- 9 x^{2} + 2 x + 5}\right|}{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной