График функции y = x^2-4/x^2-1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2   4     
f(x) = x  - -- - 1
             2    
            x     
$$f{\left (x \right )} = x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.60048518044$$
$$x_{2} = 1.60048518044$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 4/x^2 - 1.
$$-1 + 0^{2} - 4 \tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)*3**(1/4)] U [sqrt(2)*3**(1/4), oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(2)*3**(1/4), sqrt(2)*3**(1/4)]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 4/x^2 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1 = x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1$$
- Да
$$x^{2} - \frac{4}{x^{2}} - 1 = - x^{2} - - \frac{4}{x^{2}} + 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной