График y = f(x) = x/(log(x)) (х делить на (логарифм от (х))) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x/(log(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         x   
f(x) = ------
       log(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\log{\left(x \right)}}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/log(x).
$$\frac{0}{\log{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
(E, E)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}} = \frac{x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x/(log(x)) /media/krcore-image-pods/b/6f/d7a5b2bb4b285237cac4e62c93be6.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: