График функции y = log(sin(x))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = log(sin(x))
$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 64.4026493057$$
$$x_{2} = -73.8274272797$$
$$x_{3} = 14.137167115$$
$$x_{4} = -80.1106125768$$
$$x_{5} = 58.1194643704$$
$$x_{6} = 20.4203521459$$
$$x_{7} = 83.25220582$$
$$x_{8} = -4.71238973522$$
$$x_{9} = 89.535389252$$
$$x_{10} = -42.4115005592$$
$$x_{11} = 45.5530937626$$
$$x_{12} = -4.71238851019$$
$$x_{13} = -10.995573512$$
$$x_{14} = -23.561945014$$
$$x_{15} = -48.6946869113$$
$$x_{16} = -86.3937977199$$
$$x_{17} = 95.8185760669$$
$$x_{18} = -61.2610570234$$
$$x_{19} = -92.6769828388$$
$$x_{20} = -98.9601678624$$
$$x_{21} = -54.977871911$$
$$x_{22} = -61.261055221$$
$$x_{23} = -98.9601690759$$
$$x_{24} = 32.9867224177$$
$$x_{25} = -36.1283154154$$
$$x_{26} = -29.8451300946$$
$$x_{27} = -54.9778706878$$
$$x_{28} = -48.6946856747$$
$$x_{29} = 7.85398174557$$
$$x_{30} = 39.2699086547$$
$$x_{31} = -17.2787598626$$
$$x_{32} = 89.5353909238$$
$$x_{33} = 76.9690208439$$
$$x_{34} = 51.8362789063$$
$$x_{35} = 26.7035372979$$
$$x_{36} = 32.9867236652$$
$$x_{37} = 70.6858344584$$
$$x_{38} = 39.2699074396$$
$$x_{39} = 45.553091995$$
$$x_{40} = -92.6769840889$$
$$x_{41} = -67.5442421737$$
$$x_{42} = 1.57079660167$$
$$x_{43} = 83.2522046133$$
$$x_{44} = -10.9955747465$$
$$x_{45} = 76.9690195815$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(x)).
$$\log{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi       
(----, pi*I)
  2         


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, pi/2]

Возрастает на промежутках
[pi/2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной