График функции y = 2*x^3-6*x^2+18*x+1

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          3      2           
f(x) = 2*x  - 6*x  + 18*x + 1
$$f{\left (x \right )} = 18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{405}{4} + \frac{27 \sqrt{353}}{4}} + \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{405}{4} + \frac{27 \sqrt{353}}{4}}} + 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.0545457764387$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 - 6*x^2 + 18*x + 1.
$$2 \cdot 0^{3} - 0 + 0 \cdot 18 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} - 12 x + 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1]
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 - 6*x^2 + 18*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1 = - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 1$$
- Нет
$$18 x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 6 x^{2} - - 18 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной