График функции y = sqrt(4-x^2)+1/x

Вы ввели

          ________    
         /      2    1
f(x) = \/  4 - x   + -
                     x

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{2 - \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{\sqrt{3} + 2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.93185165257814$$
$$x_{2} = -1.93185165257819$$
$$x_{3} = -0.517638090205042$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(4 - x^2) + 1/x.
$$\frac{1}{0} + \sqrt{4 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3} \left(18 + \sqrt{327}\right)^{\frac{2}{3}}}}{3 \sqrt[6]{18 + \sqrt{327}}}$$
Зн. экстремумы в точках:

            __________________________________           ______________________________________                                          
           /                              2/3           /                                  2/3                    ______________         
    ___   /     2/3   3 ___ /       _____\             /         2/3   3 ___ /       _____\                ___ 6 /        _____          
 -\/ 3 *\/   - 3    + \/ 3 *\18 + \/ 327 /            /       - 3    + \/ 3 *\18 + \/ 327 /              \/ 3 *\/  18 + \/ 327           
(----------------------------------------------,     /    4 - --------------------------------  - --------------------------------------)
                   ______________                   /                    ______________               __________________________________ 
                6 /        _____                   /                  3 /        _____               /                              2/3  
              3*\/  18 + \/ 327                  \/                 3*\/  18 + \/ 327               /     2/3   3 ___ /       _____\     
                                                                                                  \/   - 3    + \/ 3 *\18 + \/ 327 /     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3} \left(18 + \sqrt{327}\right)^{\frac{2}{3}}}}{3 \sqrt[6]{18 + \sqrt{327}}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3} \left(18 + \sqrt{327}\right)^{\frac{2}{3}}}}{3 \sqrt[6]{18 + \sqrt{327}}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3} \sqrt{- 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3} \left(18 + \sqrt{327}\right)^{\frac{2}{3}}}}{3 \sqrt[6]{18 + \sqrt{327}}}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{x^{2}}{\left(- x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{CRootOf} {\left(5 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1, 1\right)}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{x^{2}}{\left(- x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + \frac{2}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{2}}{\left(- x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + \frac{2}{x^{3}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2*CRootOf(5*x**6 - 3*x**4 + 3*x**2 - 1, 1)]

Выпуклая на промежутках

[2*CRootOf(5*x**6 - 3*x**4 + 3*x**2 - 1, 1), oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(4 - x^2) + 1/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = i x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x} = \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x} = - \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График