График функции y = (6*(x^2-4))/(3*x^2+8)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
         / 2    \
       6*\x  - 4/
f(x) = ----------
           2     
        3*x  + 8 
$$f{\left (x \right )} = \frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (6*(x^2 - 4))/(3*x^2 + 8).
$$\frac{6 \left(-4 + 0^{2}\right)}{3 \cdot 0^{2} + 8}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{36 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(3 x^{2} + 8\right)^{2}} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{3 x^{2} + 8} \left(\frac{432 x^{2} \left(x^{2} - 4\right)}{\left(3 x^{2} + 8\right)^{2}} - \frac{144 x^{2}}{3 x^{2} + 8} - \frac{36 x^{2} - 144}{3 x^{2} + 8} + 12\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2*sqrt(2)/3, 2*sqrt(2)/3]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(2)/3] U [2*sqrt(2)/3, oo)
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 2$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (6*(x^2 - 4))/(3*x^2 + 8), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x^{2} - 24}{x \left(3 x^{2} + 8\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2} - 24}{x \left(3 x^{2} + 8\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8} = \frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8}$$
- Да
$$\frac{6 \left(x^{2} - 4\right)}{3 x^{2} + 8} = - \frac{6 x^{2} - 24}{3 x^{2} + 8}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной