График функции y = 3*x^2-5*x+2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          2          
f(x) = 3*x  - 5*x + 2
$$f{\left (x \right )} = 3 x^{2} - 5 x + 2$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0.666666666667$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x^2 - 5*x + 2.
$$3 \cdot 0^{2} - 0 + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
(5/6, -1/12)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[5/6, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 5/6]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{2} - 5 x + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 5 x + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^2 - 5*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{2} - 5 x + 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{2} - 5 x + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x^{2} - 5 x + 2 = 3 x^{2} + 5 x + 2$$
- Нет
$$3 x^{2} - 5 x + 2 = - 3 x^{2} - 5 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной