График y = f(x) = x^4/(x^3-1) (х в степени 4 делить на (х в кубе минус 1)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^4/(x^3-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          4  
         x   
f(x) = ------
        3    
       x  - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{x^{3} - 1}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.000654344497232379$$
$$x_{3} = -1.03817109702816 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -5.47232478931208 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -0.000654389696484705$$
$$x_{6} = -0.000161068482534478$$
$$x_{7} = -2.66938828581909 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -1.54602102954776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -4.18222968333137 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -4.06146544486498 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = -0.000286292035639011$$
$$x_{12} = -7.19322664791715 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -1.02232469567516 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -0.000299826845030901$$
$$x_{15} = -1.57532442032212 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -1.85020860558564 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = -1.16261055098824 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -1.35743106707226 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -2.20383103252304 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = -0.000107765824814504$$
$$x_{21} = -1.3338912288759 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = -7.46468469963582 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -0.000168797170534604$$
$$x_{24} = -1.18180040282252 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -3.2995928343424 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -3.21359477151646 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = -2.15592434927727 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -0.000103332775242263$$
$$x_{29} = -1.81310785380541 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -2.60607992677596 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -5.29572391754821 \cdot 10^{-5}$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/(x^3 - 1).
$$\frac{0^{4}}{-1 + 0^{3}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

          2/3 
  2/3  4*2    
(2  , ------)
         3    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/(x^3 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = \frac{x^{4}}{- x^{3} - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = - \frac{x^{4}}{- x^{3} - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^4/(x^3-1) /media/krcore-image-pods/e/49/269e56a0900b2e623841e6bae1d50.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: