График функции y = (x+1)*e^(2*x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                2*x
f(x) = (x + 1)*E   
$$f{\left (x \right )} = e^{2 x} \left(x + 1\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{2 x} \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -36.5463680381$$
$$x_{2} = -50.4876466899$$
$$x_{3} = -66.4547451397$$
$$x_{4} = -102.421228909$$
$$x_{5} = -96.4249341852$$
$$x_{6} = -90.4291742859$$
$$x_{7} = -15.2083025252$$
$$x_{8} = -28.6156935677$$
$$x_{9} = -26.6424295707$$
$$x_{10} = -38.5347052738$$
$$x_{11} = -92.4276945075$$
$$x_{12} = -56.4727881654$$
$$x_{13} = -68.4518464301$$
$$x_{14} = -42.5154118586$$
$$x_{15} = -52.4822527676$$
$$x_{16} = -88.4307270314$$
$$x_{17} = -46.5000993631$$
$$x_{18} = -30.5937393694$$
$$x_{19} = -58.4686132525$$
$$x_{20} = -84.4340741575$$
$$x_{21} = -98.4236448888$$
$$x_{22} = -100.422410961$$
$$x_{23} = -94.4262826664$$
$$x_{24} = -70.4491316757$$
$$x_{25} = -80.437787587$$
$$x_{26} = -64.4578471989$$
$$x_{27} = -16.9806772001$$
$$x_{28} = -18.8562161179$$
$$x_{29} = -106.419007862$$
$$x_{30} = -72.4465838765$$
$$x_{31} = -104.420095525$$
$$x_{32} = -34.5597813171$$
$$x_{33} = -108.417963206$$
$$x_{34} = -24.6757451532$$
$$x_{35} = -44.5073396063$$
$$x_{36} = -86.4323582835$$
$$x_{37} = -32.5753760558$$
$$x_{38} = -60.4647536412$$
$$x_{39} = -78.4398010113$$
$$x_{40} = -110.416959055$$
$$x_{41} = -82.4358814218$$
$$x_{42} = -76.4419310234$$
$$x_{43} = -1$$
$$x_{44} = -40.524469258$$
$$x_{45} = -20.7755860152$$
$$x_{46} = -62.461174834$$
$$x_{47} = -74.4441880676$$
$$x_{48} = -22.7185017258$$
$$x_{49} = -54.4773187884$$
$$x_{50} = -48.4935682921$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)*E^(2*x).
$$e^{0 \cdot 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \left(x + 1\right) e^{2 x} + e^{2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
         -3  
       -e    
(-3/2, -----)
         2   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-3/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -3/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(x + 2\right) e^{2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{2 x} \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)*E^(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x}}{x} \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x}}{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{2 x} \left(x + 1\right) = \left(- x + 1\right) e^{- 2 x}$$
- Нет
$$e^{2 x} \left(x + 1\right) = - \left(- x + 1\right) e^{- 2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной