График функции y = (|x^3+3*x^2+3*x-1|)

       | 3      2          |
f(x) = |x  + 3*x  + 3*x - 1|

$$f{\left (x \right )} = \left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right|$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 + \sqrt[3]{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.259921049895$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x^3 + 3*x^2 + 3*x - 1|.
$$\left|{-1 + 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 3}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(3 x^{2} + 6 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -0.999999476181$$
$$x_{2} = -1.00000038065$$
Зн. экстремумы в точках:

(-0.999999476181, 2)

(-1.00000038065, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1.00000038065$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1.00000038065, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1.00000038065]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x^3 + 3*x^2 + 3*x - 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right| = \left|{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1}\right|$$
- Нет
$$\left|{3 x + x^{3} + 3 x^{2} - 1}\right| = - \left|{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной