График функции y = x^2+5*(x-sin(x))^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2                 2
f(x) = x  + 5*(x - sin(x)) 
$$f{\left (x \right )} = x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -4.28600939077 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = -1.33827066615 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{4} = 5.19025148787 \cdot 10^{-8}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 + 5*(x - sin(x))^2.
$$0^{2} + 5 \left(- \sin{\left (0 \right )}\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right) \left(- 2 \cos{\left (x \right )} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} + 5 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -66.0369063406$$
$$x_{2} = 62.8286699676$$
$$x_{3} = 50.2615035734$$
$$x_{4} = -50.2615035734$$
$$x_{5} = -9.81729479237$$
$$x_{6} = 66.0369063406$$
$$x_{7} = -84.8724215239$$
$$x_{8} = 12.5504544459$$
$$x_{9} = 69.1121446487$$
$$x_{10} = 18.8389453926$$
$$x_{11} = 15.9618855508$$
$$x_{12} = 84.8724215239$$
$$x_{13} = 28.4203939149$$
$$x_{14} = -40.942703312$$
$$x_{15} = -43.9777498505$$
$$x_{16} = 78.5931728163$$
$$x_{17} = 81.6789604533$$
$$x_{18} = 22.1769708842$$
$$x_{19} = -47.2124675627$$
$$x_{20} = 75.3955711007$$
$$x_{21} = -78.5931728163$$
$$x_{22} = 47.2124675627$$
$$x_{23} = -28.4203939149$$
$$x_{24} = -22.1769708842$$
$$x_{25} = -12.5504544459$$
$$x_{26} = 91.1522103005$$
$$x_{27} = -69.1121446487$$
$$x_{28} = -18.8389453926$$
$$x_{29} = -100.528975477$$
$$x_{30} = -97.4324352921$$
$$x_{31} = 40.942703312$$
$$x_{32} = -62.8286699676$$
$$x_{33} = 25.1247833975$$
$$x_{34} = 94.2456575402$$
$$x_{35} = 185.376616776$$
$$x_{36} = 9.81729479237$$
$$x_{37} = -91.1522103005$$
$$x_{38} = 31.4095602951$$
$$x_{39} = 6.25134887271$$
$$x_{40} = -15.9618855508$$
$$x_{41} = 34.6776789287$$
$$x_{42} = -59.7603521811$$
$$x_{43} = 43.9777498505$$
$$x_{44} = 100.528975477$$
$$x_{45} = -37.6938066534$$
$$x_{46} = -3.90341427583$$
$$x_{47} = -87.9623206565$$
$$x_{48} = -6.25134887271$$
$$x_{49} = -81.6789604533$$
$$x_{50} = 59.7603521811$$
$$x_{51} = -34.6776789287$$
$$x_{52} = -72.3146037463$$
$$x_{53} = 97.4324352921$$
$$x_{54} = -31.4095602951$$
$$x_{55} = -75.3955711007$$
$$x_{56} = 53.4853381425$$
$$x_{57} = 56.5451309807$$
$$x_{58} = 87.9623206565$$
$$x_{59} = -56.5451309807$$
$$x_{60} = -53.4853381425$$
$$x_{61} = 37.6938066534$$
$$x_{62} = -94.2456575402$$
$$x_{63} = -25.1247833975$$
$$x_{64} = 72.3146037463$$
$$x_{65} = 3.90341427583$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[100.528975477, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -97.4324352921]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 + 5*(x - sin(x))^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right)\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\right)\right)$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = x^{2} + 5 \left(- x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}$$
- Нет
$$x^{2} + 5 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = - x^{2} - 5 \left(- x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной