График y = f(x) = x/(sqrt(1-x^2)) (х делить на (квадратный корень из (1 минус х в квадрате))) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x/(sqrt(1-x^2))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            x     
f(x) = -----------
          ________
         /      2 
       \/  1 - x  
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/sqrt(1 - x^2).
$$\frac{0}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - i$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/sqrt(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x/(sqrt(1-x^2)) /media/krcore-image-pods/6/1c/c87883f31c7ce07c471045572991.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: