График функции y = 1/3*x*sqrt(x)-6*x+70

Вы ввели

       x   ___           
f(x) = -*\/ x  - 6*x + 70
       3                 

$$f{\left(x \right)} = \left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 108 + \frac{9144}{\sqrt[3]{873522 + 630 \sqrt{3815} i}} + \sqrt[3]{873522 + 630 \sqrt{3815} i}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x/3)*sqrt(x) - 6*x + 70.
$$\left(\sqrt{0} \frac{0}{3} - 0\right) + 70$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 70$$
Точка:

(0, 70)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sqrt{x}}{2} - 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 144$$
Зн. экстремумы в точках:

(144, -218)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{1}{4 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x/3)*sqrt(x) - 6*x + 70, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70 = - \frac{x \sqrt{- x}}{3} + 6 x + 70$$
- Нет
$$\left(\sqrt{x} \frac{x}{3} - 6 x\right) + 70 = \frac{x \sqrt{- x}}{3} - 6 x - 70$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График