График функции y = x^2*(log(x))^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2    2   
f(x) = x *log (x)
$$f{\left (x \right )} = x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \log^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*log(x)^2.
$$0^{2} \log^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x \log^{2}{\left (x \right )} + 2 x \log{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 0)

  -1   -2 
(e , e  )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = e^{-1}$$
Убывает на промежутках
(-oo, exp(-1)] U [1, oo)

Возрастает на промежутках
[exp(-1), 1]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 3 \log{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, exp(-3/2 - sqrt(5)/2)] U [exp(-3/2 + sqrt(5)/2), oo)

Выпуклая на промежутках
[exp(-3/2 - sqrt(5)/2), exp(-3/2 + sqrt(5)/2)]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*log(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log^{2}{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log^{2}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \log^{2}{\left (x \right )} = x^{2} \log^{2}{\left (- x \right )}$$
- Нет
$$x^{2} \log^{2}{\left (x \right )} = - x^{2} \log^{2}{\left (- x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной