График функции y = 6/(sin(x)^(2)+2*sin(x)+3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                 6           
f(x) = ----------------------
          2                  
       sin (x) + 2*sin(x) + 3
$$f{\left (x \right )} = \frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 6/(sin(x)^2 + 2*sin(x) + 3).
$$\frac{6}{\sin^{2}{\left (0 \right )} + 2 \sin{\left (0 \right )} + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 12 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 12 \cos{\left (x \right )}}{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
 -pi     
(----, 3)
  2      

 pi    
(--, 1)
 2     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, pi/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3}\right) = \langle 1, 6\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 1, 6\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3}\right) = \langle 1, 6\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 1, 6\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6/(sin(x)^2 + 2*sin(x) + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6}{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3} = \frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} + 3}$$
- Нет
$$\frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + 3} = - \frac{6}{\sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной