График функции y = (x^2+1)/(x^2-1)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
        2    
       x  + 1
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 1)/(x^2 - 1).
$$\frac{0^{2} + 1}{-1 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0]

Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(- \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 2}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 1)/(x^2 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
- Да
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной