График функции y = (x-2)^2*e^(x-6)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
              2  x - 6
f(x) = (x - 2) *E     
$$f{\left (x \right )} = e^{x - 6} \left(x - 2\right)^{2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x - 6} \left(x - 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -49.9968968445$$
$$x_{2} = -73.5546705896$$
$$x_{3} = -109.302305761$$
$$x_{4} = -111.293656653$$
$$x_{5} = -28.3504295849$$
$$x_{6} = -105.320716386$$
$$x_{7} = -107.311317874$$
$$x_{8} = 2$$
$$x_{9} = -103.330526752$$
$$x_{10} = -77.5128437463$$
$$x_{11} = -91.3997888156$$
$$x_{12} = -93.3868236344$$
$$x_{13} = -51.9389966224$$
$$x_{14} = -42.310876265$$
$$x_{15} = -71.5777125278$$
$$x_{16} = -119.262283642$$
$$x_{17} = -38.5471004173$$
$$x_{18} = -79.4938033514$$
$$x_{19} = -53.8868369363$$
$$x_{20} = -59.7572952616$$
$$x_{21} = -97.362719519$$
$$x_{22} = -34.8813855334$$
$$x_{23} = -89.4134260445$$
$$x_{24} = -46.1342674151$$
$$x_{25} = -69.602374067$$
$$x_{26} = -81.475866235$$
$$x_{27} = -40.4197387542$$
$$x_{28} = -115.277362966$$
$$x_{29} = -65.6572960646$$
$$x_{30} = -63.6880004393$$
$$x_{31} = -87.4277891533$$
$$x_{32} = -99.3514965874$$
$$x_{33} = 2.00000624633$$
$$x_{34} = -117.26968017$$
$$x_{35} = -113.28534901$$
$$x_{36} = -31.3984643206$$
$$x_{37} = -85.442937904$$
$$x_{38} = -48.0615589623$$
$$x_{39} = -57.7965985081$$
$$x_{40} = -83.4589388314$$
$$x_{41} = -61.7212246431$$
$$x_{42} = -44.2166624605$$
$$x_{43} = -29.7875714538$$
$$x_{44} = -75.5330929772$$
$$x_{45} = -67.6288334004$$
$$x_{46} = -55.839594656$$
$$x_{47} = -101.340776719$$
$$x_{48} = -95.3744818786$$
$$x_{49} = -36.6983611854$$
$$x_{50} = -33.1082010515$$
$$x_{51} = -121.255157651$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)^2*E^(x - 6).
$$\frac{\left(-2\right)^{2}}{e^{6}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{4}{e^{6}}$$
Точка:
(0, 4*exp(-6))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x - 2\right)^{2} e^{x - 6} + \left(2 x - 4\right) e^{x - 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
       -6 
(0, 4*e  )

(2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(4 x + \left(x - 2\right)^{2} - 6\right) e^{x - 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)] U [sqrt(2), oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(2), sqrt(2)]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x - 6} \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x - 6} \left(x - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)^2*E^(x - 6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right)^{2} e^{x - 6}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right)^{2} e^{x - 6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x - 6} \left(x - 2\right)^{2} = \left(- x - 2\right)^{2} e^{- x - 6}$$
- Нет
$$e^{x - 6} \left(x - 2\right)^{2} = - \left(- x - 2\right)^{2} e^{- x - 6}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной