График функции y = 2*x^3-2*x^2-12*x-1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          3      2           
f(x) = 2*x  - 2*x  - 12*x - 1
$$f{\left (x \right )} = - 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{19}{9 \sqrt[3]{\frac{139}{108} + \frac{\sqrt{10047} i}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{139}{108} + \frac{\sqrt{10047} i}{36}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.9481306548$$
$$x_{2} = 3.03275865403$$
$$x_{3} = -0.0846279992289$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 - 2*x^2 - 12*x - 1.
$$-1 + 2 \cdot 0^{3} - 0 - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} - 4 x - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
                                           2                 3 
       ____                    /      ____\      /      ____\  
 1   \/ 19            ____     |1   \/ 19 |      |1   \/ 19 |  
(- + ------, -5 - 4*\/ 19  - 2*|- + ------|  + 2*|- + ------| )
 3     3                       \3     3   /      \3     3   /  

                                2                 3            
       ____         /      ____\      /      ____\             
 1   \/ 19          |1   \/ 19 |      |1   \/ 19 |        ____ 
(- - ------, -5 - 2*|- - ------|  + 2*|- - ------|  + 4*\/ 19 )
 3     3            \3     3   /      \3     3   /             


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{1}{3}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(19)/3 + 1/3] U [1/3 + sqrt(19)/3, oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(19)/3 + 1/3, 1/3 + sqrt(19)/3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(3 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 - 2*x^2 - 12*x - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1 = - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 1$$
- Нет
$$- 12 x + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 1 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 2 x^{2} - 12 x + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной