График функции y = cos(x)+cos(x+(|x|))/2+(Abs(cos(x)))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                cos(x + |x|)           
f(x) = cos(x) + ------------ + |cos(x)|
                     2                 
$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 23.7886261034$$
$$x_{2} = 10.2101761242$$
$$x_{3} = 85.6083998103$$
$$x_{4} = 96.6039740979$$
$$x_{5} = 61.4877379465$$
$$x_{6} = 77.7544181763$$
$$x_{7} = 17.5054407963$$
$$x_{8} = 30.0718114106$$
$$x_{9} = 32.7600416612$$
$$x_{10} = 67.7709232537$$
$$x_{11} = 33.7721210261$$
$$x_{12} = 3.92699081699$$
$$x_{13} = 60.4756585816$$
$$x_{14} = 54.1924732744$$
$$x_{15} = 89.3087094258$$
$$x_{16} = 16.4933614313$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{18} = 40.0553063333$$
$$x_{19} = 47.9092879672$$
$$x_{20} = 36.3549967178$$
$$x_{21} = 20.1936710468$$
$$x_{22} = 74.0541085609$$
$$x_{23} = 98.1747704247$$
$$x_{24} = 41.6261026601$$
$$x_{25} = 64.1759681971$$
$$x_{26} = 4.9390701819$$
$$x_{27} = 90.3207887907$$
$$x_{28} = 70.4591535043$$
$$x_{29} = 11.2222554891$$
$$x_{30} = 52.6216769476$$
$$x_{31} = 57.8927828899$$
$$x_{32} = 80.3372938681$$
$$x_{33} = 83.0255241186$$
$$x_{34} = 76.7423388114$$
$$x_{35} = 26.476856354$$
$$x_{36} = 46.3384916404$$
$$x_{37} = 91.8915851175$$
$$x_{38} = 6964.12551485$$
$$x_{39} = 27.4889357189$$
$$x_{40} = 13.9104857396$$
$$x_{41} = 2.35619449019$$
$$x_{42} = 8.63937979737$$
$$x_{43} = 104.457955732$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + cos(x + |x|)/2 + Abs(cos(x)).
$$\left|{\cos{\left (0 \right )}}\right| + \frac{1}{2} \cos{\left (\left|{0}\right| \right )} + \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{5}{2}$$
Точка:
(0, 5/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{2} \left(\operatorname{sign}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x + \left|{x}\right| \right )} - \sin{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 81.6814089933$$
$$x_{5} = 87.9645943005$$
$$x_{6} = 28.2743338823$$
$$x_{7} = -10.1678580618$$
$$x_{8} = 84.8230016469$$
$$x_{9} = -70.7721096888$$
$$x_{10} = -84$$
$$x_{11} = 65.9734457254$$
$$x_{12} = -12.5663706144$$
$$x_{13} = 15.7079632679$$
$$x_{14} = 100.530964915$$
$$x_{15} = 50.2654824574$$
$$x_{16} = 78.5398163397$$
$$x_{17} = -25.1327412287$$
$$x_{18} = -43.9822971503$$
$$x_{19} = -72$$
$$x_{20} = -60$$
$$x_{21} = -53.8871350073$$
$$x_{22} = -81.6814089933$$
$$x_{23} = -40$$
$$x_{24} = -92$$
$$x_{25} = -90$$
$$x_{26} = -46$$
$$x_{27} = -96$$
$$x_{28} = -48$$
$$x_{29} = -31.4159265359$$
$$x_{30} = -73.75$$
$$x_{31} = 37.6991118431$$
$$x_{32} = -26.9481791436$$
$$x_{33} = 72.2566310326$$
$$x_{34} = 56.5486677646$$
$$x_{35} = -75.3982236862$$
$$x_{36} = -34$$
$$x_{37} = -69.115038379$$
$$x_{38} = -6.28318530718$$
$$x_{39} = 6.28318530718$$
$$x_{40} = 75.3982236862$$
$$x_{41} = -87.9645943005$$
$$x_{42} = -66$$
$$x_{43} = -10$$
$$x_{44} = -16$$
$$x_{45} = 18.8495559215$$
$$x_{46} = -42$$
$$x_{47} = -22$$
$$x_{48} = -4$$
$$x_{49} = -50.2654824574$$
$$x_{50} = -56.5486677646$$
$$x_{51} = -86$$
$$x_{52} = -8$$
$$x_{53} = 59.6902604182$$
$$x_{54} = -29.75$$
$$x_{55} = 3132.16787563$$
$$x_{56} = 12.5663706144$$
$$x_{57} = -54$$
$$x_{58} = -62.8318530718$$
$$x_{59} = 62.8318530718$$
$$x_{60} = -18.8495559215$$
$$x_{61} = -1208.52980777$$
$$x_{62} = -37.6991118431$$
$$x_{63} = 94.2477796077$$
$$x_{64} = 34.5575191895$$
$$x_{65} = 21.9911485751$$
$$x_{66} = -100.530964915$$
$$x_{67} = -98$$
$$x_{68} = -28$$
$$x_{69} = -52$$
$$x_{70} = 0$$
$$x_{71} = 43.9822971503$$
$$x_{72} = -80$$
$$x_{73} = -36$$
$$x_{74} = -78$$
Зн. экстремумы в точках:
(-94.2477796077, 2.5)

(31.4159265359, 2.5)

(-2, 0.5)

(81.6814089933, 2.5)

(87.9645943005, 2.5)

(28.2743338823, 0.5)

(-10.1678580618, 0.5)

(84.8230016469, 0.5)

(-70.7721096888, 0.5)

(-84, 0.5)

(65.9734457254, 0.5)

(-12.5663706144, 2.5)

(15.7079632679, 0.5)

(100.530964915, 2.5)

(50.2654824574, 2.5)

(78.5398163397, 0.5)

(-25.1327412287, 2.5)

(-43.9822971503, 2.5)

(-72, 0.5)

(-60, 0.5)

(-53.8871350073, 0.5)

(-81.6814089933, 2.5)

(-40, 0.5)

(-92, 0.5)

(-90, 0.5)

(-46, 0.5)

(-96, 0.5)

(-48, 0.5)

(-31.4159265359, 2.5)

(-73.75, 0.5)

(37.6991118431, 2.5)

(-26.9481791436, 0.5)

(72.2566310326, 0.5)

(56.5486677646, 2.5)

(-75.3982236862, 2.5)

(-34, 0.5)

(-69.115038379, 2.5)

(-6.28318530718, 2.5)

(6.28318530718, 2.5)

(75.3982236862, 2.5)

(-87.9645943005, 2.5)

(-66, 0.5)

(-10, 0.5)

(-16, 0.5)

(18.8495559215, 2.5)

(-42, 0.5)

(-22, 0.5)

(-4, 0.5)

(-50.2654824574, 2.5)

(-56.5486677646, 2.5)

(-86, 0.5)

(-8, 0.5)

(59.6902604182, 0.5)

(-29.75, 0.5)

(3132.16787563, 0.5)

(12.5663706144, 2.5)

(-54, 0.5)

(-62.8318530718, 2.5)

(62.8318530718, 2.5)

(-18.8495559215, 2.5)

(-1208.52980777, 0.5)

(-37.6991118431, 2.5)

(94.2477796077, 2.5)

(34.5575191895, 0.5)

(21.9911485751, 0.5)

(-100.530964915, 2.5)

(-98, 0.5)

(-28, 0.5)

(-52, 0.5)

(0, 5/2)

(43.9822971503, 2.5)

(-80, 0.5)

(-36, 0.5)

(-78, 0.5)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{74} = -94.2477796077$$
$$x_{74} = 31.4159265359$$
$$x_{74} = 81.6814089933$$
$$x_{74} = 87.9645943005$$
$$x_{74} = 28.2743338823$$
$$x_{74} = 84.8230016469$$
$$x_{74} = 65.9734457254$$
$$x_{74} = -12.5663706144$$
$$x_{74} = 15.7079632679$$
$$x_{74} = 100.530964915$$
$$x_{74} = 50.2654824574$$
$$x_{74} = 78.5398163397$$
$$x_{74} = -25.1327412287$$
$$x_{74} = -43.9822971503$$
$$x_{74} = -81.6814089933$$
$$x_{74} = -31.4159265359$$
$$x_{74} = 37.6991118431$$
$$x_{74} = 72.2566310326$$
$$x_{74} = 56.5486677646$$
$$x_{74} = -75.3982236862$$
$$x_{74} = -69.115038379$$
$$x_{74} = -6.28318530718$$
$$x_{74} = 6.28318530718$$
$$x_{74} = 75.3982236862$$
$$x_{74} = -87.9645943005$$
$$x_{74} = 18.8495559215$$
$$x_{74} = -50.2654824574$$
$$x_{74} = -56.5486677646$$
$$x_{74} = 59.6902604182$$
$$x_{74} = 3132.16787563$$
$$x_{74} = 12.5663706144$$
$$x_{74} = -62.8318530718$$
$$x_{74} = 62.8318530718$$
$$x_{74} = -18.8495559215$$
$$x_{74} = -37.6991118431$$
$$x_{74} = 94.2477796077$$
$$x_{74} = 34.5575191895$$
$$x_{74} = 21.9911485751$$
$$x_{74} = -100.530964915$$
$$x_{74} = 0$$
$$x_{74} = 43.9822971503$$
Убывает на промежутках
(-oo, -100.530964915]

Возрастает на промежутках
[3132.16787563, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|\right) = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + cos(x + |x|)/2 + Abs(cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x - \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x + \left|{x}\right| \right )} + \left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = - \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (x - \left|{x}\right| \right )} - \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной