График y = f(x) = cbrt((x-1)^2)-cbrt((x-2)^2) (кубический корень из ((х минус 1) в квадрате) минус кубический корень из ((х минус 2) в квадрате)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = cbrt((x-1)^2)-cbrt((x-2)^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          __________      __________
       3 /        2    3 /        2 
f(x) = \/  (x - 1)   - \/  (x - 2)  
$$f{\left(x \right)} = - \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.5$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 1)^2)^(1/3) - ((x - 2)^2)^(1/3).
$$- \sqrt[3]{\left(-2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(-1\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$$
Точка:
(0, 1 - 2^(2/3))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\left(\frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \sqrt[3]{\left|{x - 1}\right|}} - \frac{3 \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{3 \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -125512.837416453$$
$$x_{2} = -121892.612675662$$
$$x_{3} = -92930.4749233495$$
$$x_{4} = -107411.632041635$$
$$x_{5} = 153227.715282796$$
$$x_{6} = 131506.541805723$$
$$x_{7} = 80822.6497912284$$
$$x_{8} = -168955.129307482$$
$$x_{9} = 127886.327994658$$
$$x_{10} = 160468.073230856$$
$$x_{11} = -176195.460999757$$
$$x_{12} = -136373.473042397$$
$$x_{13} = -100171.080326311$$
$$x_{14} = -114652.140240002$$
$$x_{15} = 135126.749709999$$
$$x_{16} = 156847.895997152$$
$$x_{17} = 120645.880525241$$
$$x_{18} = -143613.869493746$$
$$x_{19} = 174948.751680618$$
$$x_{20} = -172575.296459901$$
$$x_{21} = -74828.6242703155$$
$$x_{22} = -78449.0435994471$$
$$x_{23} = 91683.7110774952$$
$$x_{24} = -150854.2477742$$
$$x_{25} = 98924.3270436442$$
$$x_{26} = -179815.623084838$$
$$x_{27} = -183435.782860475$$
$$x_{28} = -161714.786463164$$
$$x_{29} = 113405.402368939$$
$$x_{30} = -158094.610380195$$
$$x_{31} = 171328.586254447$$
$$x_{32} = -147234.060737799$$
$$x_{33} = -96550.7850906174$$
$$x_{34} = -132753.267073585$$
$$x_{35} = 149607.530835116$$
$$x_{36} = 102544.61337754$$
$$x_{37} = -118272.380517698$$
$$x_{38} = 167708.418157916$$
$$x_{39} = 77202.2491018338$$
$$x_{40} = -129133.055363848$$
$$x_{41} = -139993.673715634$$
$$x_{42} = 142367.149600594$$
$$x_{43} = -89310.1480088897$$
$$x_{44} = -111031.891048395$$
$$x_{45} = -103791.362192748$$
$$x_{46} = 145987.342376377$$
$$x_{47} = 164088.247214284$$
$$x_{48} = 124266.107760565$$
$$x_{49} = -85689.802224819$$
$$x_{50} = 138746.952169846$$
$$x_{51} = 95304.0268252043$$
$$x_{52} = 88063.377885336$$
$$x_{53} = 106164.887247276$$
$$x_{54} = 84443.0250051142$$
$$x_{55} = 109785.149885881$$
$$x_{56} = -165334.959370894$$
$$x_{57} = 117025.645638938$$
$$x_{58} = -82069.4350742536$$
$$x_{59} = -154474.430898759$$
$$x_{60} = 178568.914598841$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[174948.751680618, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -147234.060737799\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 1)^2)^(1/3) - ((x - 2)^2)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} = \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}} - \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} = - \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = cbrt((x-1)^2)-cbrt((x-2)^2) /media/krcore-image-pods/c/0b/d0c9807f8625198850c572516155d.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: