График функции y = (((|x-2|))*(x^2-4*x+3))^(1/3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          ________________________
       3 /         / 2          \ 
f(x) = \/  |x - 2|*\x  - 4*x + 3/ 
$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (|x - 2|*(x^2 - 4*x + 3))^(1/3).
$$\sqrt[3]{\left(0^{2} - 0 + 3\right) \left|{-2}\right|}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt[3]{6}$$
Точка:
(0, 6^(1/3))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 3} \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} \left(\frac{1}{3} \left(2 x - 4\right) \left|{x - 2}\right| + \frac{1}{3} \left(x^{2} - 4 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2.57735026919$$
$$x_{3} = 1.42264973081$$
Зн. экстремумы в точках:
(2, 0)

                                  3 ____ 
(2.57735026919, 0.727415757314481*\/ -1 )

                                  3 ____ 
(1.42264973081, 0.727415757314481*\/ -1 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{9} \left(- \frac{6}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{5}{3}} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}} \left(x - 2\right) \left(2 \left(x - 2\right) \left|{x - 2}\right| + \left(x^{2} - 4 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )}\right) + \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} \left(2 \left(x - 2\right) \left|{x - 2}\right| + \left(x^{2} - 4 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )}\right) \left(\frac{2 \left(x - 2\right) \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 3}}{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}} \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )}\right) + \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{2}{3}} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}} \left(12 \left(x - 2\right) \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )} + 6 \left(x^{2} - 4 x + 3\right) \delta\left(x - 2\right) + 6 \left|{x - 2}\right|\right) - \frac{3 \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|} \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )}}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{2}{3}}} \left(2 \left(x - 2\right) \left|{x - 2}\right| + \left(x^{2} - 4 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )}\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (|x - 2|*(x^2 - 4*x + 3))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 3} \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 3} \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} = \sqrt[3]{x^{2} + 4 x + 3} \sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \left|{x - 2}\right|} = - \sqrt[3]{x^{2} + 4 x + 3} \sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной