График функции y = x^3-15*x^2+72*x-109

Вы ввели

        3       2             
f(x) = x  - 15*x  + 72*x - 109

$$f{\left(x \right)} = \left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 5 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.53208888623796$$
$$x_{2} = 3.12061475842818$$
$$x_{3} = 5.34729635533386$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 15*x^2 + 72*x - 109.
$$-109 + \left(\left(0^{3} - 15 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 72\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -109$$
Точка:

(0, -109)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 30 x + 72 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

(4, 3)

(6, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[4, 6\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 15*x^2 + 72*x - 109, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109 = - x^{3} - 15 x^{2} - 72 x - 109$$
- Нет
$$\left(72 x + \left(x^{3} - 15 x^{2}\right)\right) - 109 = x^{3} + 15 x^{2} + 72 x + 109$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График