График функции y = (x-2)*exp(3-x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                3 - x
f(x) = (x - 2)*e     
$$f{\left (x \right )} = \left(x - 2\right) e^{- x + 3}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) e^{- x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 75.527773187$$
$$x_{2} = 103.418161552$$
$$x_{3} = 79.5062407713$$
$$x_{4} = 117.385891061$$
$$x_{5} = 107.40794252$$
$$x_{6} = 91.4552548671$$
$$x_{7} = 109.403158172$$
$$x_{8} = 55.7006804985$$
$$x_{9} = 95.4416565533$$
$$x_{10} = 57.6758673387$$
$$x_{11} = 2$$
$$x_{12} = 45.8762545098$$
$$x_{13} = 89.4626045093$$
$$x_{14} = 67.5808212222$$
$$x_{15} = 63.6140292183$$
$$x_{16} = 36.2454094695$$
$$x_{17} = 87.4703620749$$
$$x_{18} = 38.1413894509$$
$$x_{19} = 71.5523925194$$
$$x_{20} = 119.381987934$$
$$x_{21} = 105.412938828$$
$$x_{22} = 61.6328238139$$
$$x_{23} = 93.4482816548$$
$$x_{24} = 34.3772961852$$
$$x_{25} = 53.7281686335$$
$$x_{26} = 40.0568716419$$
$$x_{27} = 43.92723075$$
$$x_{28} = 59.6533514232$$
$$x_{29} = 115.389949729$$
$$x_{30} = 51.7587989604$$
$$x_{31} = 77.516658846$$
$$x_{32} = 49.7931569933$$
$$x_{33} = 121.378231553$$
$$x_{34} = 73.5396566044$$
$$x_{35} = 65.596754713$$
$$x_{36} = 81.4964551189$$
$$x_{37} = 83.4872456641$$
$$x_{38} = 101.423626498$$
$$x_{39} = 47.8319875396$$
$$x_{40} = 69.56607699$$
$$x_{41} = 111.398572537$$
$$x_{42} = 85.4785626915$$
$$x_{43} = 97.435354026$$
$$x_{44} = 41.9866376954$$
$$x_{45} = 113.394173452$$
$$x_{46} = 99.4293509839$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)*exp(3 - x).
$$- 2 e^{- 0 + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - 2 e^{3}$$
Точка:
(0, -2*exp(3))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \left(x - 2\right) e^{- x + 3} + e^{- x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(3, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках
(-oo, 3]

Возрастает на промежутках
[3, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x - 4\right) e^{- x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 4]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) e^{- x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) e^{- x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)*exp(3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) e^{- x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) e^{- x + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) e^{- x + 3} = \left(- x - 2\right) e^{x + 3}$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) e^{- x + 3} = - \left(- x - 2\right) e^{x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной