График функции y = ((x)^3-1)/((4*x)^2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3    
       x  - 1
f(x) = ------
            2
       (4*x) 
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3} - 1}{\left(4 x\right)^{2}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(4 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 1)/(4*x)^2.
$$\frac{-1 + 0^{3}}{\left(0 \cdot 4\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \frac{1}{16 x^{2}} x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{8 x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
            3 ___ 
  3 ___  -3*\/ 2  
(-\/ 2, --------)
            32    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2**(1/3)]

Возрастает на промежутках
[-2**(1/3), oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{8 x} \left(-3 + \frac{1}{x^{3}} \left(3 x^{3} - 3\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{\left(4 x\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{\left(4 x\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 1)/(4*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{16} \frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x^{3} - 1\right)\right) = \frac{1}{16}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{16}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{16} \frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x^{3} - 1\right)\right) = \frac{1}{16}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{16}$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(4 x\right)^{2}} = \frac{- x^{3} - 1}{16 x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(4 x\right)^{2}} = - \frac{- x^{3} - 1}{16 x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной