График функции y = x^4-4*x^3+9

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        4      3    
f(x) = x  - 4*x  + 9
$$f{\left (x \right )} = x^{4} - 4 x^{3} + 9$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 4 x^{3} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9} - \frac{6}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}} + \frac{16}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}} + 4 + 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}}} + 8} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}} + 4 + 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9} - \frac{6}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}} + \frac{16}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}} + 4 + 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}}} + 8} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}} + 4 + 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{6} + 9}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.54111372783$$
$$x_{2} = 3.84120365206$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 + 9.
$$0^{4} - 0 + 9$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 9$$
Точка:
(0, 9)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 9)

(3, -18)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[3, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 x \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)

Выпуклая на промежутках
[0, 2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 4 x^{3} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 4 x^{3} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} - 4 x^{3} + 9\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} - 4 x^{3} + 9\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 4 x^{3} + 9 = x^{4} + 4 x^{3} + 9$$
- Нет
$$x^{4} - 4 x^{3} + 9 = - x^{4} - 4 x^{3} - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной