График функции y = cbrt(x)/(1-x^3)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
       3 ___ 
       \/ x  
f(x) = ------
            3
       1 - x 
$$f{\left (x \right )} = \frac{\sqrt[3]{x}}{- x^{3} + 1}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{- x^{3} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/3)/(1 - x^3).
$$\frac{\sqrt[3]{0}}{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{\left(- x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(- x^{3} + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
         3 ____  2/3 
       4*\/ -1 *2    
(-1/2, -------------)
             9       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3} - 1} \left(- \frac{18 x^{\frac{13}{3}}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{\frac{4}{3}}}{x^{3} - 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -0.961610333533406$$
$$x_{2} = 0.294566476246703$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{x^{3} - 1} \left(- \frac{18 x^{\frac{13}{3}}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{\frac{4}{3}}}{x^{3} - 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{x^{3} - 1} \left(- \frac{18 x^{\frac{13}{3}}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{\frac{4}{3}}}{x^{3} - 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0.294566476246703, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0.294566476246703]
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{- x^{3} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{- x^{3} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/3)/(1 - x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \left(- x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \left(- x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{- x^{3} + 1} = \frac{\sqrt[3]{- x}}{x^{3} + 1}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{- x^{3} + 1} = - \frac{\sqrt[3]{- x}}{x^{3} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной