График функции y = 12*x+3*x^2-2*x^3

Вы ввели

                 2      3
f(x) = 12*x + 3*x  - 2*x 

$$f{\left(x \right)} = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.3117376914899$$
$$x_{2} = -1.8117376914899$$
$$x_{3} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 12*x + 3*x^2 - 2*x^3.
$$12 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0^{3}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 6 x^{2} + 6 x + 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -7)

(2, 20)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 2\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \cdot \left(1 - 2 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 12*x + 3*x^2 - 2*x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$$
- Нет
$$- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График