График функции y = 1/3*cos(2*x)

       cos(2*x)
f(x) = --------
          3    

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 162.577419823$$
$$x_{12} = 69.9004365424$$
$$x_{13} = -25.9181393921$$
$$x_{14} = 63.6172512352$$
$$x_{15} = 30.6305283725$$
$$x_{16} = -49.480084294$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{20} = -1147.46671672$$
$$x_{21} = -33.7721210261$$
$$x_{22} = 10.2101761242$$
$$x_{23} = 87.1791961371$$
$$x_{24} = 76.1836218496$$
$$x_{25} = 49.480084294$$
$$x_{26} = -2.35619449019$$
$$x_{27} = -5.49778714378$$
$$x_{28} = -55.7632696012$$
$$x_{29} = 60.4756585816$$
$$x_{30} = -54.1924732744$$
$$x_{31} = -38.4845100065$$
$$x_{32} = -46.3384916404$$
$$x_{33} = 40.0553063333$$
$$x_{34} = 41.6261026601$$
$$x_{35} = -32.2013246993$$
$$x_{36} = -79.3252145031$$
$$x_{37} = -18.0641577581$$
$$x_{38} = -62.0464549084$$
$$x_{39} = 44.7676953137$$
$$x_{40} = 46.3384916404$$
$$x_{41} = -11.780972451$$
$$x_{42} = 27.4889357189$$
$$x_{43} = 1106.62601223$$
$$x_{44} = 85.6083998103$$
$$x_{45} = 32.2013246993$$
$$x_{46} = 74.6128255228$$
$$x_{47} = -63.6172512352$$
$$x_{48} = -76.1836218496$$
$$x_{49} = 18.0641577581$$
$$x_{50} = -99.7455667515$$
$$x_{51} = -60.4756585816$$
$$x_{52} = -90.3207887907$$
$$x_{53} = -16.4933614313$$
$$x_{54} = -69.9004365424$$
$$x_{55} = 88.7499924639$$
$$x_{56} = 3.92699081699$$
$$x_{57} = 11.780972451$$
$$x_{58} = 98.1747704247$$
$$x_{59} = -19.6349540849$$
$$x_{60} = 38.4845100065$$
$$x_{61} = 24.3473430653$$
$$x_{62} = 62.0464549084$$
$$x_{63} = -84.0376034835$$
$$x_{64} = -35.3429173529$$
$$x_{65} = -41.6261026601$$
$$x_{66} = -91.8915851175$$
$$x_{67} = 82.4668071567$$
$$x_{68} = 96.6039740979$$
$$x_{69} = 25.9181393921$$
$$x_{70} = -27.4889357189$$
$$x_{71} = 384.059701901$$
$$x_{72} = -82.4668071567$$
$$x_{73} = -10.2101761242$$
$$x_{74} = -40.0553063333$$
$$x_{75} = -85.6083998103$$
$$x_{76} = -57.334065928$$
$$x_{77} = -98.1747704247$$
$$x_{78} = 47.9092879672$$
$$x_{79} = 16.4933614313$$
$$x_{80} = -3.92699081699$$
$$x_{81} = 68.3296402156$$
$$x_{82} = 19.6349540849$$
$$x_{83} = 5.49778714378$$
$$x_{84} = 99.7455667515$$
$$x_{85} = 52.6216769476$$
$$x_{86} = -24.3473430653$$
$$x_{87} = -68.3296402156$$
$$x_{88} = 55.7632696012$$
$$x_{89} = 91.8915851175$$
$$x_{90} = 8.63937979737$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(2*x)/3.
$$\frac{1}{3} \cos{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{3}$$
Точка:

(0, 1/3)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2}{3} \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1/3)

 pi       
(--, -1/3)
 2        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{4}{3} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/4, 3*pi/4]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )}\right) = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )}\right) = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(2*x)/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{3 x} \cos{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3 x} \cos{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )} = \frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )}$$
- Да
$$\frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )} = - \frac{1}{3} \cos{\left (2 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной