График функции y = x/4+1/x-2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       x   1    
f(x) = - + - - 2
       4   x    
$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \sqrt{3} + 4$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 7.46410161514$$
$$x_{2} = 0.535898384862$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/4 + 1/x - 2.
$$-2 + \frac{0}{4} + \frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{4} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -3)

(2, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
[-2, 2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/4 + 1/x - 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2\right)\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2\right)\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{4}$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2 = - \frac{x}{4} - 2 - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$\frac{x}{4} + \frac{1}{x} - 2 = - \frac{-1 x}{4} + 2 - - \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной