График функции y = (5-x)/sqrt(x^2-8*x+7)

Вы ввели

             5 - x      
f(x) = -----------------
          ______________
         /  2           
       \/  x  - 8*x + 7 

$$f{\left(x \right)} = \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 7$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (5 - x)/(sqrt(x^2 - 8*x + 7)).
$$\frac{5 - 0}{\sqrt{0^{2} - 8 \cdot 0 + 7}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{5 \sqrt{7}}{7}$$
Точка:

(0, 5*sqrt(7)/7)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\left(5 - x\right) \left(x - 4\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 13$$
Зн. экстремумы в точках:

          ___ 
     -2*\/ 2  
(13, --------)
        3     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 13$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 13\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[13, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x - \left(x - 5\right) \left(\frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 7} - 1\right) - 8}{\left(x^{2} - 8 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{43}{4} - \frac{3 \sqrt{73}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{73}}{4} + \frac{43}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 7$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x - \left(x - 5\right) \left(\frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 7} - 1\right) - 8}{\left(x^{2} - 8 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x - \left(x - 5\right) \left(\frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 7} - 1\right) - 8}{\left(x^{2} - 8 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 7^-}\left(\frac{2 x - \left(x - 5\right) \left(\frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 7} - 1\right) - 8}{\left(x^{2} - 8 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 7^+}\left(\frac{2 x - \left(x - 5\right) \left(\frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 7} - 1\right) - 8}{\left(x^{2} - 8 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 7$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \sqrt{73}}{4} + \frac{43}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \sqrt{73}}{4} + \frac{43}{4}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 7$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (5 - x)/(sqrt(x^2 - 8*x + 7)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 - x}{x \sqrt{x^{2} - 8 x + 7}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - x}{x \sqrt{x^{2} - 8 x + 7}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}} = \frac{x + 5}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 7}}$$
- Нет
$$\frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 7}} = - \frac{x + 5}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 7}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График