График функции y = (x^2+2*x+1)/(|x+1|)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2          
       x  + 2*x + 1
f(x) = ------------
         |x + 1|   
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left|{x + 1}\right|}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left|{x + 1}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -0.999999476181$$
$$x_{2} = -1.00000038065$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 2*x + 1)/|x + 1|.
$$\frac{1}{\left|{1}\right|} \left(0^{2} + 0 \cdot 2 + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x + 2}{\left|{x + 1}\right|} - \frac{\operatorname{sign}{\left (x + 1 \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(x^{2} + 2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left|{x + 1}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left|{x + 1}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 2*x + 1)/|x + 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x \left|{x + 1}\right|}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x \left|{x + 1}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left|{x + 1}\right|} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{\left|{x - 1}\right|}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left|{x + 1}\right|} = - \frac{x^{2} - 2 x + 1}{\left|{x - 1}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной