График функции y = ((x+2)^3)/3*x^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
              3   
       (x + 2)   2
f(x) = --------*x 
          3       
$$f{\left (x \right )} = x^{2} \frac{1}{3} \left(x + 2\right)^{3}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \frac{1}{3} \left(x + 2\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x + 2)^3/3)*x^2.
$$0^{2} \frac{2^{3}}{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} \left(x + 2\right)^{2} + \frac{2 x}{3} \left(x + 2\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{4}{5}$$
$$x_{3} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 0)

       1152 
(-4/5, ----)
       3125 

(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{4}{5}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -4/5] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
[-4/5, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\frac{x}{3} + \frac{2}{3}\right) \left(3 x^{2} + 6 x \left(x + 2\right) + \left(x + 2\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2, -4/5 - sqrt(6)/5] U [-4/5 + sqrt(6)/5, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2] U [-4/5 - sqrt(6)/5, -4/5 + sqrt(6)/5]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \frac{1}{3} \left(x + 2\right)^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \frac{1}{3} \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x + 2)^3/3)*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{3} \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{3} \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \frac{1}{3} \left(x + 2\right)^{3} = \frac{x^{2}}{3} \left(- x + 2\right)^{3}$$
- Нет
$$x^{2} \frac{1}{3} \left(x + 2\right)^{3} = - \frac{x^{2}}{3} \left(- x + 2\right)^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной