График функции y = (x^2-3*x)/(x-1)

Вы ввели

[LaTeX]

        2      
       x  - 3*x
f(x) = --------
        x - 1  

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 3 x}{x - 1}$$

Область определения функции

[LaTeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

[LaTeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

[LaTeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x)/(x - 1).
$$\frac{1}{-1} \left(0^{2} - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

[LaTeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 3}{x - 1} - \frac{x^{2} - 3 x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

[LaTeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{2 x \left(x - 3\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 2 - \frac{4 x - 6}{x - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

[LaTeX]

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

[LaTeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[LaTeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x)/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

[LaTeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x - 1} = \frac{x^{2} + 3 x}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 3 x}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной