График функции y = (|x^2+3*x|)/(x-1)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       | 2      |
       |x  + 3*x|
f(x) = ----------
         x - 1   
$$f{\left (x \right )} = \frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x - 1}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -3$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x^2 + 3*x|/(x - 1).
$$\frac{1}{-1} \left|{0^{2} + 0 \cdot 3}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x - 1} \left(2 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x^{2} + 3 x \right )} - \frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(3, 9)

                                        2 
                            /      ____\  
                     ____   |2   \/ 13 |  
         ____  2 + \/ 13  - |- + ------|  
   2   \/ 13                \3     3   /  
(- - - ------, --------------------------)
   3     3                    ____        
                        5   \/ 13         
                      - - - ------        
                        3     3           


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[3, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 1} \left(2 \left(2 x + 3\right)^{2} \delta\left(x \left(x + 3\right)\right) + 2 \operatorname{sign}{\left (x \left(x + 3\right) \right )} - \frac{2}{x - 1} \left(2 x + 3\right) \operatorname{sign}{\left (x \left(x + 3\right) \right )} + \frac{2 \left|{x \left(x + 3\right)}\right|}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x^2 + 3*x|/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x - 1} = \frac{\left|{x^{2} - 3 x}\right|}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\left|{x^{2} + 3 x}\right|}{x - 1} = - \frac{\left|{x^{2} - 3 x}\right|}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной