График y = f(x) = atan(2*x) (арктангенс от (2 умножить на х)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = atan(2*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = atan(2*x)
$$f{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(2*x).
$$\operatorname{atan}{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{4 x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{16 x}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = - \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = - -1 \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: