График функции y = 1/(x^3-3*x)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          1    
f(x) = --------
        3      
       x  - 3*x
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{3} - 3 x}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.73205080756888$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x^{3} - 3 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(x^3 - 3*x).
$$\frac{1}{0^{3} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 3 x^{2} + 3}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 1/2)

(1, -1/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
[-1, 1]

Возрастает на промежутках
(-oo, -1] U [1, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x \left(x^{2} - 3\right)^{2}} \left(-6 + \frac{18 \left(x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.73205080756888$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{3} - 3 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} - 3 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x^3 - 3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{3} - 3 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{3} - 3 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x^{3} - 3 x} = \frac{1}{- x^{3} + 3 x}$$
- Нет
$$\frac{1}{x^{3} - 3 x} = - \frac{1}{- x^{3} + 3 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной