График функции y = x^4/12-x^3+9*x^2/2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        4           2
       x     3   9*x 
f(x) = -- - x  + ----
       12         2  
$$f{\left (x \right )} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/12 - x^3 + (9*x^2)/2.
$$\frac{0^{4}}{12} - 0 + \frac{0}{2} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 9 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x^{2} - 6 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/12 - x^3 + (9*x^2)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3} = \frac{x^{4}}{12} + x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2}$$
- Нет
$$\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{12} - x^{3} = - \frac{x^{4}}{12} - x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной