График функции y = (e^x)/(e^x-1)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          x  
         E   
f(x) = ------
        x    
       E  - 1
$$f{\left (x \right )} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$$
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -32.872003083$$
$$x_{2} = -70.872003083$$
$$x_{3} = -100.872003083$$
$$x_{4} = -114.872003083$$
$$x_{5} = -110.872003083$$
$$x_{6} = -44.872003083$$
$$x_{7} = -118.872003083$$
$$x_{8} = -98.872003083$$
$$x_{9} = -96.872003083$$
$$x_{10} = -28.872003083$$
$$x_{11} = -50.872003083$$
$$x_{12} = -40.872003083$$
$$x_{13} = -86.872003083$$
$$x_{14} = -106.872003083$$
$$x_{15} = -116.872003083$$
$$x_{16} = -48.872003083$$
$$x_{17} = -104.872003083$$
$$x_{18} = -88.872003083$$
$$x_{19} = -94.872003083$$
$$x_{20} = -68.872003083$$
$$x_{21} = -42.872003083$$
$$x_{22} = -102.872003083$$
$$x_{23} = -36.872003083$$
$$x_{24} = -46.872003083$$
$$x_{25} = -58.872003083$$
$$x_{26} = -34.872003083$$
$$x_{27} = -72.872003083$$
$$x_{28} = -108.872003083$$
$$x_{29} = -66.872003083$$
$$x_{30} = -64.872003083$$
$$x_{31} = -84.872003083$$
$$x_{32} = -90.872003083$$
$$x_{33} = -38.872003083$$
$$x_{34} = -62.872003083$$
$$x_{35} = -92.872003083$$
$$x_{36} = -120.872003083$$
$$x_{37} = -112.872003083$$
$$x_{38} = -82.872003083$$
$$x_{39} = -78.872003083$$
$$x_{40} = -60.872003083$$
$$x_{41} = -30.872003083$$
$$x_{42} = -76.872003083$$
$$x_{43} = -56.872003083$$
$$x_{44} = -54.872003083$$
$$x_{45} = -74.872003083$$
$$x_{46} = -80.872003083$$
$$x_{47} = -52.872003083$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x/(E^x - 1).
$$\frac{e^{0}}{-1 + e^{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \left(1 - \frac{3 e^{x}}{e^{x} - 1} + \frac{2 e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x/(E^x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} = \frac{e^{- x}}{-1 + e^{- x}}$$
- Нет
$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} = - \frac{e^{- x}}{-1 + e^{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной