График y = f(x) = 7*sqrt(2*cos(x))+7*x-7*pi/4+9 (7 умножить на квадратный корень из (2 умножить на косинус от (х)) плюс 7 умножить на х минус 7 умножить на число пи делить на 4 плюс 9) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 7*sqrt(2*cos(x))+7*x-7*pi/4+9

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           __________         7*pi    
f(x) = 7*\/ 2*cos(x)  + 7*x - ---- + 9
                               4      
$$f{\left (x \right )} = 7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -1.2700430407$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 7*sqrt(2*cos(x)) + 7*x - 7*pi/4 + 9.
$$- \frac{7 \pi}{4} + 0 \cdot 7 + 7 \sqrt{2 \cos{\left (0 \right )}} + 9$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{7 \pi}{4} + 9 + 7 \sqrt{2}$$
Точка:
(0, 9 + 7*sqrt(2) - 7*pi/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{7 \sqrt{2} \sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )}}} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-1 + \sqrt{2}} \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:
                                                                            ______________________________ 
       /   ____________\             /   ____________\                     /    /      /   ____________\\  
       |  /        ___ |             |  /        ___ |   7*pi       ___   /     |      |  /        ___ ||  
(2*atan\\/  -1 + \/ 2  /, 9 + 14*atan\\/  -1 + \/ 2  / - ---- + 7*\/ 2 *\/   cos\2*atan\\/  -1 + \/ 2  // )
                                                          4                                                


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-1 + \sqrt{2}} \right )}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 2*atan(sqrt(-1 + sqrt(2)))]

Возрастает на промежутках
[2*atan(sqrt(-1 + sqrt(2))), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{7 \sqrt{2}}{4} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} + 2 \sqrt{\cos{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 7*sqrt(2*cos(x)) + 7*x - 7*pi/4 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9\right)\right) = 7$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 7 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9\right)\right) = 7$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 7 x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9 = - 7 x + 7 \sqrt{2} \sqrt{\cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9$$
- Нет
$$7 x + 7 \sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} - \frac{7 \pi}{4} + 9 = - -1 \cdot 7 x - 7 \sqrt{2} \sqrt{\cos{\left (x \right )}} - 9 - - \frac{7 \pi}{4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: