График функции y = (1/3)*x^3+(7/2)*x^2+12*x+16

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3      2            
       x    7*x             
f(x) = -- + ---- + 12*x + 16
       3     2              
$$f{\left (x \right )} = 12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{7}{2} - \frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \sqrt{15} + \frac{837}{8}} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{27 \sqrt{15} + \frac{837}{8}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.60511498707$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 + 7*x^2/2 + 12*x + 16.
$$\frac{0^{3}}{3} + \frac{0}{2} + 0 \cdot 12 + 16$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 16$$
Точка:
(0, 16)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} + 7 x + 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, 8/3)

(-3, 5/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Убывает на промежутках
(-oo, -4] U [-3, oo)

Возрастает на промежутках
[-4, -3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 x + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{7}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-7/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -7/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + 7*x^2/2 + 12*x + 16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16 = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 12 x + 16$$
- Нет
$$12 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 16 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - - 12 x - 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной