График функции y = 1/x-1/(x-1)*1/(x-2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       1          1       
f(x) = - - ---------------
       x   (x - 1)*(x - 2)
$$f{\left (x \right )} = - \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{2} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{2} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.585786437627$$
$$x_{2} = 3.41421356237$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/x - 1/((x - 1)*(x - 2)).
$$- \frac{1}{2} + \frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + \frac{24}{\sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}}} + \frac{32}{3}} + 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + \frac{24}{\sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}}} + \frac{32}{3}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}} + 2$$
Зн. экстремумы в точках:
                                                                                     _____________________________________________________________________________________________________________________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                    /             ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                   /             /        _____                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                                                                  /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                                                                 /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - ---------------------                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
               ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
              /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
             /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
            /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
           /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
          /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
         /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
        /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
       /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
     \/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                                                                                                                                    1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1                                                                                                                                                                                                          
(2 + -------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
                                   2                                                                                                   2                                                                                                                                                        _____________________________________________________________________________________________________________________   /                                                                                _____________________________________________________________________________________________________________________\ /                                                                                    _____________________________________________________________________________________________________________________\ 
                                                                                                                                                                                                                                                                                               /             ______________                                                                                             |                                                                               /             ______________                                                                                          | |                                                                                   /             ______________                                                                                          | 
                                                                                                                                                                                                                                                                                              /             /        _____                                                                                              |                                                                              /             /        _____                                                                                           | |                                                                                  /             /        _____                                                                                           | 
                                                                                                                                                                                                                                                                                             /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8              |                                                                             /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8           | |                                                                                 /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8           | 
                                                                                                                                                                                                                                                                                            /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - ---------------------    |                                                                            /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - --------------------- | |                                                                                /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - --------------------- | 
                                                                                                                                                                                                                          ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________    |          ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________ | |              ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________ | 
                                                                                                                                                                                                                         /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____     |         /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____  | |             /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____  | 
                                                                                                                                                                                                                        /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129      |        /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129   | |            /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129   | 
                                                                                                                                                                                                                       /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------     |       /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------  | |           /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------  | 
                                                                                                                                                                                                                      /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9        |      /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9     | |          /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9     | 
                                                                                                                                                                                                                     /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                             |     /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                          | |         /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                          | 
                                                                                                                                                                                                                    /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                              |    /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                           | |        /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                           | 
                                                                                                                                                                                                                   /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                               |   /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                            | |       /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                            | 
                                                                                                                                                                                                                  /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                              |  /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                           | |      /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                           | 
                                                                                                                                                                                                                \/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                                 |\/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                              | |    \/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                              | 
                                                                                                                                                                                                            2 + -------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   |-------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|*|1 + -------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| 
                                                                                                                                                                                                                                              2                                                                                                   2                                                                     \                              2                                                                                                   2                                                                  / \                                  2                                                                                                   2                                                                  / 

                                                                                     _____________________________________________________________________________________________________________________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                    /             ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                   /             /        _____                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                                                                  /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                                                                 /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - ---------------------                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
               ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
              /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
             /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
            /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
           /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
          /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
         /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
        /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
       /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
     \/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                                                                                                                                    1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1                                                                                                                                                                                                          
(2 + -------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
                                   2                                                                                                   2                                                                                                                                                        _____________________________________________________________________________________________________________________   /                                                                                _____________________________________________________________________________________________________________________\ /                                                                                    _____________________________________________________________________________________________________________________\ 
                                                                                                                                                                                                                                                                                               /             ______________                                                                                             |                                                                               /             ______________                                                                                          | |                                                                                   /             ______________                                                                                          | 
                                                                                                                                                                                                                                                                                              /             /        _____                                                                                              |                                                                              /             /        _____                                                                                           | |                                                                                  /             /        _____                                                                                           | 
                                                                                                                                                                                                                                                                                             /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8              |                                                                             /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8           | |                                                                                 /   32        /  35   \/ 129                                   24                                           8           | 
                                                                                                                                                                                                                                                                                            /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - ---------------------    |                                                                            /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - --------------------- | |                                                                                /    -- - 2*3 /   -- + -------  + -------------------------------------------------------------- - --------------------- | 
                                                                                                                                                                                                                          ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________    |          ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________ | |              ____________________________________________________             /     3      \/    27      9                 ____________________________________________________          ______________ | 
                                                                                                                                                                                                                         /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____     |         /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____  | |             /             ______________                                     /                                            /             ______________                                  /        _____  | 
                                                                                                                                                                                                                        /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129      |        /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129   | |            /             /        _____                                     /                                            /             /        _____                                  /  35   \/ 129   | 
                                                                                                                                                                                                                       /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------     |       /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------  | |           /   16        /  35   \/ 129               8                     /                                            /   16        /  35   \/ 129               8              9*3 /   -- + -------  | 
                                                                                                                                                                                                                      /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9        |      /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9     | |          /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------          /                                            /    -- + 2*3 /   -- + -------  + ---------------------      \/    27      9     | 
                                                                                                                                                                                                                     /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                             |     /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                          | |         /     3      \/    27      9              ______________         /                                            /     3      \/    27      9              ______________                          | 
                                                                                                                                                                                                                    /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                              |    /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                           | |        /                                         /        _____         /                                            /                                         /        _____                           | 
                                                                                                                                                                                                                   /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                               |   /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                            | |       /                                         /  35   \/ 129         /                                            /                                         /  35   \/ 129                            | 
                                                                                                                                                                                                                  /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                              |  /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                           | |      /                                     9*3 /   -- + -------       /                                            /                                     9*3 /   -- + -------                           | 
                                                                                                                                                                                                                \/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                                 |\/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                              | |    \/                                        \/    27      9        \/                                           \/                                        \/    27      9                              | 
                                                                                                                                                                                                            2 + -------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   |-------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|*|1 + -------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| 
                                                                                                                                                                                                                                              2                                                                                                   2                                                                     \                              2                                                                                                   2                                                                  / \                                  2                                                                                                   2                                                                  / 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + \frac{24}{\sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}}} + \frac{32}{3}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}} + 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + \frac{24}{\sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{129}}{9} + \frac{35}{27}} + \frac{16}{3}}} + \frac{32}{3}} + 2$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(-2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 24/sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3) + 32/3)/2 + sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3)/2 + 2, sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3)/2 + sqrt(-2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 24/sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3) + 32/3)/2 + 2]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(-2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 24/sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3) + 32/3)/2 + sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3)/2 + 2] U [sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3)/2 + sqrt(-2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 24/sqrt(8/(9*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3)) + 2*(sqrt(129)/9 + 35/27)**(1/3) + 16/3) + 32/3)/2 + 2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.503105268440892$$
$$x_{2} = 7.49818431608342$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{3} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0.503105268440892] U [7.49818431608342, oo)

Выпуклая на промежутках
[0.503105268440892, 7.49818431608342]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/x - 1/((x - 1)*(x - 2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x} = - \frac{1}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)} - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x} = - \frac{-1}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)} - - \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной