График функции y = (x^2+1)/(x-2)^1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
         2     
        x  + 1 
f(x) = --------
              1
       (x - 2) 
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{1}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 1)/(x - 2)^1.
$$\frac{1}{\left(-2\right)^{1}} \left(0^{2} + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{2}$$
Точка:
(0, -1/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} + 2$$
Зн. экстремумы в точках:
                  /               2\ 
              ___ |    /      ___\ | 
       ___  \/ 5 *\1 + \2 + \/ 5 / / 
(2 + \/ 5, ------------------------)
                       5             

                   /               2\  
               ___ |    /      ___\ |  
       ___  -\/ 5 *\1 + \2 - \/ 5 / /  
(2 - \/ 5, --------------------------)
                        5              


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 + \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{5} + 2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(5) + 2] U [2 + sqrt(5), oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(5) + 2, 2 + sqrt(5)]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} \left(- \frac{4 x}{x - 2} + 2 + \frac{2 x^{2} + 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 1)/(x - 2)^1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{1}} = \frac{x^{2} + 1}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{1}} = - \frac{x^{2} + 1}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной