График функции y = sin(2*x/3)

Вы ввели

          /2*x\
f(x) = sin|---|
          \ 3 /

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -70.6858347058$$
$$x_{2} = -94.2477796077$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = 65.9734457254$$
$$x_{6} = 61.261056745$$
$$x_{7} = -89.5353906273$$
$$x_{8} = -4.71238898038$$
$$x_{9} = 28.2743338823$$
$$x_{10} = -32.9867228627$$
$$x_{11} = -80.1106126665$$
$$x_{12} = -42.4115008235$$
$$x_{13} = -2148.84937506$$
$$x_{14} = 9.42477796077$$
$$x_{15} = 32.9867228627$$
$$x_{16} = -14.1371669412$$
$$x_{17} = 56.5486677646$$
$$x_{18} = -75.3982236862$$
$$x_{19} = -9.42477796077$$
$$x_{20} = 75.3982236862$$
$$x_{21} = -65.9734457254$$
$$x_{22} = 18.8495559215$$
$$x_{23} = 14.1371669412$$
$$x_{24} = -84.8230016469$$
$$x_{25} = -98.9601685881$$
$$x_{26} = 80.1106126665$$
$$x_{27} = -56.5486677646$$
$$x_{28} = 4.71238898038$$
$$x_{29} = 98.9601685881$$
$$x_{30} = -51.8362787842$$
$$x_{31} = -47.1238898038$$
$$x_{32} = 70.6858347058$$
$$x_{33} = -61.261056745$$
$$x_{34} = -18.8495559215$$
$$x_{35} = -37.6991118431$$
$$x_{36} = 94.2477796077$$
$$x_{37} = 89.5353906273$$
$$x_{38} = 37.6991118431$$
$$x_{39} = -23.5619449019$$
$$x_{40} = 47.1238898038$$
$$x_{41} = 0$$
$$x_{42} = 42.4115008235$$
$$x_{43} = 23.5619449019$$
$$x_{44} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin((2*x)/3).
$$\sin{\left (\frac{0}{3} 1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{3} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 3*pi    
(----, 1)
  4      

 9*pi     
(----, -1)
  4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3*pi/4] U [9*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[3*pi/4, 9*pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{4}{9} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin((2*x)/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = - \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = - -1 \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной