График функции y = e^asin(x)-sqrt(1-x^2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                     ________
        asin(x)     /      2 
f(x) = E        - \/  1 - x  
$$f{\left (x \right )} = e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -0.961578612267$$
$$x_{2} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^asin(x) - sqrt(1 - x^2).
$$- \sqrt{- 0 + 1} + e^{\operatorname{asin}{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \frac{e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -0.55514122176$$
Зн. экстремумы в точках:
(-0.55514122176, -0.276614886665261)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -0.55514122176$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-0.55514122176, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -0.55514122176]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{x e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}}}{x^{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1}\right) = - \infty i + e^{- \infty i}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty i + e^{- \infty i}$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^asin(x) - sqrt(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1}\right)\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1} = - \sqrt{- x^{2} + 1} + e^{- \operatorname{asin}{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$e^{\operatorname{asin}{\left (x \right )}} - \sqrt{- x^{2} + 1} = - -1 \sqrt{- x^{2} + 1} - e^{- \operatorname{asin}{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной