График функции y = x*sin(1/x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
            /1\
f(x) = x*sin|-|
            \x/
$$f{\left (x \right )} = x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.318309886183791$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(1/x).
$$0 \sin{\left (\frac{1}{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\sin{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1/pi]

Выпуклая на промежутках
[1/pi, oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
- Да
$$x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = - x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной