График функции y = sqrt(x)-x^2+6*x-8

Вы ввели

         ___    2          
f(x) = \/ x  - x  + 6*x - 8

$$f{\left(x \right)} = \left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{10}{9 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}} + \frac{4}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}} + \frac{10}{9 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}}} + \frac{8}{3} + \frac{2}{\sqrt{- \frac{10}{9 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}} + \frac{4}{3}}}}}{2} + 3$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}} + \frac{10}{9 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}}} + \frac{8}{3} + \frac{2}{\sqrt{- \frac{10}{9 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}} + \frac{4}{3}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{10}{9 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{277}{432} + \frac{\sqrt{12081}}{144}} + \frac{4}{3}}}{2} + 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.50742728676155$$
$$x_{2} = 4.78537084367146$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x) - x^2 + 6*x - 8.
$$-8 + \left(\left(\sqrt{0} - 0^{2}\right) + 0 \cdot 6\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -8$$
Точка:

(0, -8)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (2 + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x) - x^2 + 6*x - 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8 = - x^{2} - 6 x + \sqrt{- x} - 8$$
- Нет
$$\left(6 x + \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)\right) - 8 = x^{2} + 6 x - \sqrt{- x} + 8$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График