График функции y = 2*sin(x+pi/3)-1

Вы ввели

            /    pi\    
f(x) = 2*sin|x + --| - 1
            \    3 /    

$$f{\left (x \right )} = 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 1.57079632679$$
$$x_{3} = -88.4881930761$$
$$x_{4} = 51.8362787842$$
$$x_{5} = 100.007366139$$
$$x_{6} = -38.2227106187$$
$$x_{7} = -17.2787595947$$
$$x_{8} = 37.1755130675$$
$$x_{9} = 45.5530934771$$
$$x_{10} = 83.2522053201$$
$$x_{11} = -4.71238898038$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = 87.4409955249$$
$$x_{14} = -69.6386371546$$
$$x_{15} = 62.3082542962$$
$$x_{16} = 12.0427718388$$
$$x_{17} = 14.1371669412$$
$$x_{18} = -48.6946861306$$
$$x_{19} = -80.1106126665$$
$$x_{20} = -42.4115008235$$
$$x_{21} = 49.7418836818$$
$$x_{22} = 58.1194640914$$
$$x_{23} = 39.2699081699$$
$$x_{24} = 95.8185759345$$
$$x_{25} = -36.1283155163$$
$$x_{26} = -92.6769832809$$
$$x_{27} = 32.9867228627$$
$$x_{28} = -63.3554518474$$
$$x_{29} = -44.5058959259$$
$$x_{30} = -94.7713783833$$
$$x_{31} = 7.85398163397$$
$$x_{32} = 68.5914396034$$
$$x_{33} = 93.7241808321$$
$$x_{34} = 5.75958653158$$
$$x_{35} = 64.4026493986$$
$$x_{36} = -50.789081233$$
$$x_{37} = -73.8274273594$$
$$x_{38} = -224.623874732$$
$$x_{39} = 43.4586983747$$
$$x_{40} = -0.523598775598$$
$$x_{41} = 26.7035375555$$
$$x_{42} = -98.9601685881$$
$$x_{43} = 56.025068989$$
$$x_{44} = -82.2050077689$$
$$x_{45} = 81.1578102177$$
$$x_{46} = 18.3259571459$$
$$x_{47} = -67.5442420522$$
$$x_{48} = -57.0722665402$$
$$x_{49} = -13.08996939$$
$$x_{50} = -61.261056745$$
$$x_{51} = 30.8923277603$$
$$x_{52} = 74.8746249106$$
$$x_{53} = -86.3937979737$$
$$x_{54} = 20.4203522483$$
$$x_{55} = 24.6091424531$$
$$x_{56} = 89.5353906273$$
$$x_{57} = -10.9955742876$$
$$x_{58} = -6.80678408278$$
$$x_{59} = -23.5619449019$$
$$x_{60} = 70.6858347058$$
$$x_{61} = -19.3731546971$$
$$x_{62} = -31.9395253115$$
$$x_{63} = -25.6563400043$$
$$x_{64} = 125.140107368$$
$$x_{65} = -29.8451302091$$
$$x_{66} = -75.9218224618$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(x + pi/3) - 1.
$$-1 + 2 \sin{\left (\frac{\pi}{3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1 + \sqrt{3}$$
Точка:

(0, -1 + sqrt(3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi            /pi   pi\ 
(--, -1 + 2*sin|-- + --|)
 6             \6    3 / 

 7*pi            /pi   pi\ 
(----, -1 - 2*sin|-- + --|)
  6              \6    3 / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/6] U [7*pi/6, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/6, 7*pi/6]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -pi/3] U [2*pi/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[-pi/3, 2*pi/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1\right) = \langle -3, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -3, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1\right) = \langle -3, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -3, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x + pi/3) - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1 = 2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} - 1$$
- Нет
$$2 \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1 = - 2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной