График функции y = (x^3-27)^(1/3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          _________
       3 /  3      
f(x) = \/  x  - 27 
$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x^{3} - 27}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 27)^(1/3).
$$\sqrt[3]{-27 + 0^{3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Точка:
(0, 3*(-1)^(1/3))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 27\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
      3 ____ 
(0, 3*\/ -1 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{\left(x^{3} - 27\right)^{\frac{2}{3}}} \left(- \frac{x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^{3} - 27} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{3} - 27} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 27)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{x^{3} - 27}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{x^{3} - 27} = \sqrt[3]{- x^{3} - 27}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{x^{3} - 27} = - \sqrt[3]{- x^{3} - 27}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной