График y = f(x) = x^4-4*x^3-9 (х в степени 4 минус 4 умножить на х в кубе минус 9) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^4-4*x^3-9

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        4      3    
f(x) = x  - 4*x  - 9
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{6}{\sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}}} + 2 \sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}} + 4}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}} + \frac{6}{\sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}}} + 8 + \frac{16}{\sqrt{- \frac{6}{\sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}}} + 2 \sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}} + 4}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}} + \frac{6}{\sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}}} + 8 + \frac{16}{\sqrt{- \frac{6}{\sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}}} + 2 \sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}} + 4}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{6}{\sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}}} + 2 \sqrt[3]{-9 + 6 \sqrt{3}} + 4}}{2} + 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.20059490096421$$
$$x_{2} = 4.12794971279496$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 - 9.
$$-9 + \left(0^{4} - 4 \cdot 0^{3}\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -9$$
Точка:
(0, -9)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -9)

(3, -36)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 - 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9 = x^{4} + 4 x^{3} - 9$$
- Нет
$$\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) - 9 = - x^{4} - 4 x^{3} + 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^4-4*x^3-9 /media/krcore-image-pods/8/f1/7df37550776a190b961525d234b33.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: